TABLE DES MATIÈRES

L'espace
sensible

Le sentiment de la direction

Représentation de l'espace

Déplacement et changement d'état

Classification des déplacements

Introduction de la notion de groupe

Conséquences de l'existence du groupe

Propriétés du groupe

Continuité

Sous-groupes

Sous-groupes rotatifs

Sous-groupes translatifs

Nombre des dimensions

La notion du point

Discussion de la théorie précédente

Le raisonnement d'Euclide

La géométrie de Staudt

L'axiome de Lie

La géométrie et la contradiction

L'emploi des figures

La forme et la matière

Conclusions

 

 

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LA NOTION DE POINT

Je sens que je touche ici au point le plus délicat de cette discussion et je suis obligé de m'arrêter un moment pour justifier plus complètement les assertions qui précèdent et dont certaines personnes pourraient être disposées à douter. Beaucoup de personnes en effet considèrent la notion d'un point de l'espace comme si immédiate et si claire que toute définition en est superflue. Mais je pense qu'on m'accordera qu'une notion aussi subtile que celle du point mathématique sans longueur, largeur, ni épaisseur n'est pas immédiate et qu'elle a besoin d'être expliquée.

Mais en est-il de même pour la notion plus vague et moins exactement définie, mais plus empirique de place? Y a-t-il quelqu'un qui ne s'imagine pas savoir parfaitement ce dont il parle lorsqu'il dit: cet objet occupe la place qui était occupée par cet autre objet? Pour déterminer la portée de cette assertion et les conclusions qui peuvent en être tirées, cherchons à en analyser la signification. Si je n'ai bougé ni mon corps, ni ma tête, ni mon ™il et si l'image de l'objet B affecte les mêmes fibres rétiniennes qu'affectait auparavant l'image de l'objet A; si encore, bien que je n'aie bougé ni mon bras, ni ma main, les mêmes fibres sensorielles qui aboutissent à l'extrémité du doigt et qui me transmettaient d'abord l'impression que j'attribuais à l'objet A, me transmettent maintenant l'impression que j'attribue à l'objet B; si ces deux conditions sont remplies, - alors nous convenons ordinairement de dire que l'objet B occupe la place que l'objet A occupait auparavant.

Avant d'analyser une convention aussi compliquée que celle que nous venons d'indiquer, je ferai d'abord une remarque. Je viens d'énoncer deux conditions: l'une relative à la vue et l'autre relative au toucher. La première est nécessaire, mais n'est pas suffisante, car nous disons dans le langage ordinaire que le point de la rétine où une image se forme nous donne seulement connaissance de la direction du rayon visuel, mais que la distance de l'œil demeure inconnue. La seconde condition est à la fois nécessaire et suffisante parce que nous admettons que l'action du toucher ne s'exerce pas à distance et que l'objet A comme l'objet B ne peut agir sur le doigt que par un contact immédiat. Tout cela concorde avec ce que l'expérience nous a appris; à savoir que la première condition peut être remplie sans que la seconde se réalise, mais que la seconde ne peut pas être remplie sans que la première le soit. Remarquons que nous sommes ici en présence d'un fait que nous ne pouvions pas conna²tre a priori et que l'expérience seule pouvait nous le démontrer.

Mais ce n'est pas tout. Pour déterminer la place d'un objet je n'ai fait usage que d'un œil et d'un doigt. J'aurais pu faire usage de plusieurs autres moyens, - par exemple de tous mes autres doigts. Après avoir été averti que l'objet A a produit sur mon premier doigt une impression tactile, supposons que par une série de mouvements S mon second doigt vienne au contact du même objet A. Ma première impression tactile cesse et est remplacée par une autre impression tactile qui m'est transmise par le nerf du second doigt et que j'attribue encore à l'action de l'objet A. Quelque temps après et sans que j'aie bougé ma main, le même nerf du second doigt me transmet une autre impression tactile que j'attribue à l'action d'un autre objet B. Je dis alors que l'objet B a pris la place de l'objet A.
A ce moment je fais une série de mouvements S' inverse de la série S. Comment sais-je que ces deux séries sont inverses l'une de l'autre? Parce que l'expérience m'a appris que quand le changement interne S qui correspond à certaines sensations musculaires est suivi par un changement interne S' qui correspond à d'autres sensations musculaires, il se produit une compensation et que mes impressions primitives, d'abord modifiées par le changement S, sont rétablies par le changement S'.

J'exécute la série de mouvement S'. L'effet doit être de ramener mon premier doigt à sa position initiale et de le mettre ainsi au contact de l'objet B qui a pris la place de l'objet A. Je dois donc m'attendre à ce que le nerf de mon premier doigt me transmette une impression tactile attribuable à l'objet B. Et en fait c'est ce qui arrive.

Mais serait-il donc absurde de supposer le contraire? Et pourquoi serait-ce absurde? Dirai-je que l'objet B ayant pris la place de l'objet A et mon premier doigt ayant repris sa place initiale, il doit toucher l'objet B comme il touchait auparavant l'objet A? Cela serait une pure pétition de principe. Et pour le montrer, essayons d'appliquer le même raisonnement à un autre exemple ou plutt revenons à l'exemple de la vue et du toucher que je citais au début.

L'image de l'objet A fait une impression sur l'une de mes fibres rétiniennes. En même temps, le nerf de l'un de mes doigts me transmet une impression tactile que j'attribue au même objet. Je ne bouge ni mon ™il ni ma main. Et un moment après l'image de l'objet B frappe la même fibre rétinienne. Par un raisonnement tout à fait analogue à celui qui précède, je serais tenté de conclure que l'objet B a pris la place de l'objet A et je m'attendrais à ce que le nerf de mon doigt me transmette une impression tactile attribuable à B. Et cependant je me serais trompé. Car il peut arriver que l'image de B se forme sur le même point de la rétine que l'image de A sans que la distance de l'œil soit la même dans les deux cas.

L'expérience a réfuté mon raisonnement. Je m'en tire en disant qu'il ne suffit pas que deux corps forment leur image sur la même fibre rétinienne pour me permettre de dire que les deux corps sont à la même place; et je m'en tirerais d'une manière analogue dans le cas des deux doigts si les indications du second doigt n'avaient pas été d'accord avec celles du premier, et si l'expérience avait contredit mon raisonnement. Je dirais encore en ce cas que deux objets A et B peuvent faire une impression sur le même doigt par le moyen du toucher et cependant ne pas être à la même place; en d'autres termes je conclurais que le toucher peut s'exercer à distance. Ou encore je conviendrais de ne considérer A et B comme étant à la même place qu'à la condition qu'il y ait concordance non seulement entre leurs effets sur le premier doigt, mais aussi entre leurs effets sur le second doigt. On pourrait presque dire, à un certain point de vue, que de cette façon une dimension de plus serait attribuée à l'espace.

En résumé, il y a certaines lois de concordance qui ne peuvent nous être révélées que par l'expérience, et qui sont à la base de la vague notion de place.

Mais même en considérant ces lois de concordance comme acquises, pouvons-nous en déduire la notion beaucoup plus exacte de point et la notion du nombre des dimensions? Cela reste à examiner.

D'abord une observation. Nous avons parlé de deux objets A et B qui ont formé l'un après l'autre leur image sur le même point de la rétine. Mais ces deux images ne sont pas identiques; sans cela comment pourrais-je les distinguer? Elles diffèrent, par exemple, en couleur. L'une est rouge, l'autre est verte. Nous avons donc deux sensations qui diffèrent en qualité et qui me sont certainement transmises par deux fibres nerveuses différentes quoique contigues. Qu'ont-elles de commun et pourquoi suis-je conduit à les associer? Il est probable que si l'œil était immobile nous n'aurions jamais pensé à cette association. Ce sont les mouvements de l'œil qui nous ont appris qu'il y a la même relation d'une part entre la sensation de vert au point A de la rétine et sensation de vert au point B de la rétine et d'autre part entre la sensation de rouge au point A de la rétine et la sensation de rouge au point B de la rétine. Nous avons constaté, en fait, que les mêmes mouvements, correspondant aux mêmes sensations musculaires, nous font passer de la première à la seconde ou de la troisième à la quatrième. S'il n'en était pas ainsi, ces quatre sensations nous appara²traient comme qualitativement distinctes et nous ne songerions pas plus à établir entre elles une sorte de proportion qu'entre une sensation olfactive, une sensation gustative, une sensation auditive et une sensation tactile.

Cependant, quelle que soit l'origine de cette association, elle est impliquée dans la notion de place qui n'aurait pas pris naissance sans elle. Analysons donc ses lois. Nous ne pouvons les concevoir que sous deux formes différentes également éloignées de la continuité mathématique: à savoir la discontinuité ou la continuité physique.

Sous la première forme, nos sensations seront divisées en un très grand nombre de "familles", toutes les sensations d'une famille étant associées entre elles et n'étant pas associées à celles des autres familles. Puisque à chaque famille correspondrait une place, nous aurions un nombre fini, mais très grand de places et les places formeraient un ensemble discret. Il n'y aurait aucune raison pour les classer dans un tableau à trois dimensions plutôt que dans un tablea à deux ou à quatre dimensions et nous ne pourrions en déduire ni le point ni l'espace mathématiques.

Sous la seconde forme qui est plus satisfaisante les différentes familles se pénètrent l'une l'autre. A, par exemple, sera associé à B et B à C. Mais A ne nous appara²tra pas comme associé à C. Nous trouverons que A et C n'appartiennent pas à la même famille, bien que A et B d'une part et B et C d'autre part nous apparaissent comme appartenant à la même famille. Ainsi nous ne pouvons pas distinguer entre un poids de neuf grammes et un poids de dix grammes, ni entre ce dernier poids et un poids de onze grammes. Mais nous percevons sans hésiter la différence entre le premier poids et le troisième. C'est là toujours la formule du continu physique.

Figurons-nous une série de pains à cacheter se recouvrant partiellement l'un l'autre de telle manière que le plan soit entièrement couvert; ou mieux, figurons-nous quelque chose d'analogue dans un espace à trois dimensions. Si ces pains à cacheter ne formaient par leur superposition qu'une sorte de ruban à une dimension, nous reconnaîtrions cette circonstance au fait que les associations dont je viens de parler obéiraient à une loi qui peut être formulée ainsi: si A est associé à la fois à B, C et D, D est associé à B ou à C. Cette loi ne serait pas vraie si nos pains à cacheter couvraient pas leur superposition un plan ou un espace à plus de deux dimensions. Quand je dis par conséquent que toutes les places possibles constituent un ensemble à une dimension ou à plus d'une dimension, je veux simplement dire que la loi indiquée est vraie ou qu'elle est fausse. Quand je dis que ces places constituent un ensemble à deux ou trois dimensions, j'affirme simplement que certaines lois analogues sont vraies.

Tels sont les fondements sur lesquels nous pouvons essayer de construire une théorie statique du nombre des dimensions. On voit combien cette manière de définir le nombre des dimensions est compliquée, combien elle est imparfaite et il est inutile de faire remarquer la distance qui sépare encore le continu physique à trois dimensions ainsi compris du véritable continu mathématique à trois dimensions.

Discussion de la théorie précédente ...

 

 
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