INTRODUCTION DE LA NOTION DE GROUPE

Que nous soyons capables d'aller plus loin est dù au fait suivant dont l'importance est capitale.

Il est évident que si nous considérons un changement A et le faisons suivre d'un autre changement B, nous sommes libres de regarder l'ensemble des deux changements A suivi de B comme un seul changement qui peut s'écrire A+B est peut être appelé le changement résultant. (Il va sans dire que A+B n'est pas nécessairement identique à B+A). Il en résulte alors que si deux changements A et B sont des déplacements, le changement A+B est aussi un déplacement. Les mathématiciens expriment cela en disant que l'ensemble des déplacements forme un groupe. S'il n'en était pas ainsi il n'y aurait pas de géométrie.

Mais comment savons-nous que l'ensemble des déplacements est un groupe ? Est-ce par un raisonnement a priori ? Est-ce par expérience ? On est tenté de raisonner a priori et de dire : si le changement externe A est corrigé par le changement interne A', et le changement externe B par le changement interne B', le changement externe résultant A+B sera corrigé par le changement interne résultant B'+A'. Donc ce changement résultant est par définition un déplacement, ce qui revient à dire que l'ensemble des déplacements forme un groupe.

Mais ce raisonnement est sujet à plusieurs objections. Il est clair que les changements A et A' se compensent, c'est-à-dire que si ces deux changements se succèdent, je retrouverai mes impressions primitives, résultat que je peux écrire comme il suit :

A + A' = O

Je vois également que B + B' = O. Ce sont ces hypothèses que j'ai faites au début et qui m'ont servi à définir les changements A, A', B et B'. Mais est-il certain que nous aurons encore B + B' = O après les deux changements A et A' ? Est-il certain que ces deux premiers changements se compensent d'une manière telle qu'après eux, non seulement je retrouverai mes impressions primitives, mais que les deux changements B et B' retrouveront toutes leurs propriétés initiales et en particulier celle de se compenser mutuellement ? Si nous admettons cela, nous pourrons en conclure que je retrouverai mes impressions primitives quand les quatre changements se suivront dans l'ordre

A, A', B, B' ;

mais non pas qu'il en sera encore de même quand ils se succéderont dans l'ordre

A, B, B', A'.

Et ce n'est pas tout. Si deux changements externes a et a' sont regardés comme identiques sur la base de la convention adoptée plus haut, ou, en d autres termes, sont susceptibles d être corrigés par le même changement interne A ; si, d'autre part, deux autres changements externes b et b' peuvent être corrigés par le même changement interne B et peuvent par conséquent être regardés aussi comme identiques, avons-nous le droit de conclure que les deux changements a + b et a' + b' sont susceptibles d'être corrigés par le même changement interne et sont par conséquent identiques ? Une telle proposition n'est aucunement évidente, et, si elle est vraie, elle ne peut être le résultat d'un raisonnement a priori.

Par conséquent, cette série de propositions, que je résume en disant que les déplacements forment un groupe, ne nous est pas donnée par un raisonnement a priori. Sont-elles donc un resultat d'expérience ? On est enclin à admettre qu'elles le sont ; et cependant on a un sentiment de véritable répugnance à le faire.
Des expériences plus précises ne peuvent-elles pas prouver un jour que la loi énoncée plus haut n'est qu'approximative ? Et alors qu'adviendra-t-il de la géométrie ?

Mais nous pouvons être tranquilles sur ce point. La géométrie est à l'abri de toute révision ; aucune expérience, si précise soit-elle, ne peut la renverser. Si cela se pouvait, il y a longtemps que se serait fait. Nous savons depuis longtemps que toutes les soi-disant lois expérimentales ne sont que des approximations et des approximations grossières.

Que faut-il donc faire ? Quand l'expérience nous apprend qu'un certain phénomène ne correspond pas du tout aux lois indiquées, nous l'effaÁons de la liste des déplacements. Quand elle nous apprend qu'un certain changement ne leur obéit qu'approximativement, nous considérons ce changement, par une convention artificielle, comme la résultante de deux autres changements composants. Le premier composant est regardé comme un déplacement satisfaisant rigoureusement aux lois dont je viens de parler, tandis que le second composant, qui est petit, est regardé comme une altération qualitative. Ainsi nous disons que les solides naturels ne subissent pas seulement de grands changements de position, mais aussi de petites flexions et de petites dilatations thermiques.

Par un changement externe a par exemple, nous passons de l ensemble d'impressions A à l ensemble B. Nous corrigeons ce changement par un changement interne volontaire b et nous sommes ramenés à l'ensemble A. Un nouveau changement externe a' nous fait passer de nouveau de l'ensemble A à l ensemble B. Nous devons nous attendre alors à ce que ce changement a' puisse à son tour être corrigé par un autre changement interne volontaire b' qui provoquerait les mêmes sensations musculaires que b et qui ramènerait l'ensemble d impressions A. Si l expérience ne confirme pas cette prédiction, nous ne sommes pas embarrassés. Nous disons que le changement a' , bien qu il nous ait fait, comme a , passer de l'ensemble A à l'ensemble B, n'est cependant pas identique au changement a . Si notre prédiction ne se confirme qu'approximativement, nous disons que le changement a' est un déplacement identique au déplacement a , mais accompagné d'une légère altération qualitative.

En résumé, les lois en question ne nous sont pas imposées par la nature, mais sont imposées par nous à la nature. Mais si nous les imposons à la nature, c'est parce qu'elle nous permet de le faire. Si elle offrait trop de résistance, nous chercherions dans notre arsenal une autre forme qui serait pour elle plus acceptable.

Conséquences de l'existence du groupe ...