L'escargot de Pythagore

Une figure classique pour la construction géométrique des racines carrées des entiers successifs…

Tous les triangles sont rectangles ; le premier, T1, est aussi isocèle et il a pour dimensions
1 ; 1 ; .

Ensuite l'hypoténuse du triangle Tn est un côté de l'angle droit du triangle Tn+1, l'autre côté de l'angle droit étant toujours 1.

Le théorème de Pythagore assure l'apparition des racines carrées des entiers successifs comme mesures des hypoténuses :

• Triangles pythagoriques

Une unité de longueur étant choisie, on appelle triangle pythagorique tout triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont des entiers.

Ainsi le triangle ABC rectangle en A
tel que AB = 3, AC = 4, BC = 5 est un triangle pythagorique.

Déjà connu des Babyloniens et, sans doute, des premiers géomètres chinois, les triangles de Pythagore ont été longuement étudiés par les mathématiciens grecs et les arithméticiens de la Renaissance.
Le principal résultat à leur sujet a trait aux formules permettant d'obtenir tous les triangles pythagoriques.

Si x, y, z sont trois entiers mesurant les côtés d'un triangle rectangle
( z mesurant l'hypoténuse),
il existe alors trois entiers d, m, n
( m, n de parité différente et sans diviseur commun)
tels que :
,
,
.

En prenant d= 1, m= 2, n= 1,
on retrouve la relation .

Les côtés des triangles pythagoriques
résolvent, pour n = 2,
l'équation : .

Le grand théorème de Fermat affirme que, pour , l'équation précédente n'admet pas de solutions entières non triviales (c'est-à-dire telles que ).

Le théorème a été démontré dans toute sa généralité, en 1994, par Andrew Wiles.