Carrés en série

Cette composition est fondée sur des triangles rectangles "pseudo-isocèles", c'est-à-dire des triangles rectangles dont la différence entre l'hypoténuse et un côté de l'angle droit vaut l'unité. Ainsi, lorsqu'on prend comme unité le côté du carré central, les triangles successifs ont pour côtés : 3-4-5; 5-12-13; 7-24-25; 9-40-41; 11-60-61; 13-84-85; 15-112-113; ... Les petits côtés des triangles sont les impairs successifs.

En jouant sur les couleurs et surtout en jouant sur les tonalités claires et foncées, on peut obtenir un effet de perspective très agréable à l'œil. Attention, les carrés formés par les hypoténuses successives n'ont pas leurs côtés parallèles.

Pour étudier ces carrés, on a noté, sur la figure ci-dessous, an, bn et hn les côtés des triangles rectangles successifs (on a changé le noir en blanc pour plus de clarté).

Les carrés dont les côtés sont formés des côtés de l'angle droit des triangles rectangles blancs ont, eux, leurs côtés parallèles et de longueur , avec et .

Les triangles rectangles suivants sont construits en prolongeant les côtés de ce carré de .

On a alors
.

La solution générale de cette équation récurrente est .

Puisque , on a K = 0 et . Et on a bien alors la propriété annoncée :

.

En effet, puisque .

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