Dans les triangles rectangles, le quarré du côté opposé à l'angle droit est égal aux quarrés des côtés qui comprennent l'angle droit.

Soit ABC un triangle rectangle, que BAC soit l'angle droit ; je dis que le quarré du côté BC est égal aux quarrés des côtés BA, AC.

Décrivons avec BC le quarré BDEC, et avec BA, AC les quarrés HB, DC ; et par le point A conduisons AD parallèle à l'une ou à l'autre des droites BC, CE ; et joignons AD, ZC.

Puisque chacun des angles BAC, BAH est droit, les deux droites AC, AH, non placées du même côté, font avec la droite BA au point A de cette droite, deux angles de suite égaux à deux droits ; donc la droite CA est dans la direction de AH ; la droite BA est dans la direction AO, par la même raison. Et puisque l'angle DBC est égal à l'angle ZBA, étant droits l'un et l'autre, si nous leur ajoutons l'angle commun ABC, l'angle entier DBA sera égal à l'angle entier ZBC. Et puisque DB est égal à BC, et ZB à BA, les deux droites DB, DA sont égales aux deux droites CB, BZ, chacune à chacune ; mais l'angle DBA est égal à l'angle ZBC ; donc la base AD est égale à la base ZC, et le triangle ABD égal au triangle ZBC.

Mais le parallélogramme BL est double du triangle ABD (prop. 41), car ils ont la même base BD et ils sont entre les mêmes parallèles BD, AL ; le quarré BH est double du triangle ZBC, car ils ont la même base BZ et ils sont entre les mêmes parallèles ZB, HC ; et les grandeurs qui sont doubles de grandeurs égales, sont égales entr'elles ; donc le parallélogramme BL est égal au quarré HB.

Ayant joint AE, BK, nous démontrerons semblablement que le parallélogramme CL est égal au quarré OC ; donc le quarré entier BDEC est égal aux deux quarrés HB, OC.

Mais le quarré BDEC est décrit avec BC, et les quarrés HB, OC sont décrits avec BA, AC ; donc le quarré du côté BC est égal aux quarrés des côtés BA, AC.
Donc dans les triangles, etc.