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Les pentaèdres diaboliques et la dissection du cube

Le dépliant Les pentaèdres diaboliques et la dissection du cube permet de construire 2 pentaèdres et 4 tétraèdres, à partir de leurs 6 patrons. Les 6 éléments peuvent former un cube. Et les 2 pentaèdres sont les 2 éléments d'un casse-tête : il s'agit de les assembler de manière à former une pyramide.

Une fois les patrons découpés, les textes et images figurant dans ce dépliant peuvent avoir été quelque peu éparpillés ; ils sont donc repris ci-dessous.

Ce dépliant figure à notre catalogue :
Les pentaèdres diaboliques.

Les pentaèdres diaboliques
Le nom donné au « pentaèdre diabolique » rappelle d'abord qu'il a 5 faces (penta = cinq, en grec) ; l'adjectif par lequel nous avons décidé de qualifier ce solide vient du caractère tentateur et déroutant du puzzle constitué de deux de ces exemplaires (voir plus bas). Ce solide a donc 5 faces, 6 sommets et 9 arêtes. C'est un exemple inhabituel de la « relation d'Euler » : 6+5=9+2 (le nombre de faces + le nombre de sommets est égal au nombre d'arêtes + 2). Et, de plus, il se trouve que la construction du patron de ce solide donne lieu à d'élégants tracés, détaillés en bas de page.

Un pentaèdre diabolique est une sorte de coin, formé de deux trapèzes placés en biseau le long des côtés de deux triangles équilatéraux, et pouvant se poser sur sa cinquième face carrée (voir figures rouges ci-dessus).

Le puzzle des pentaèdres diaboliques
Les « pentaèdres diaboliques » sont deux solides identiques dont les patrons sont donnés pour montage. Construisez-les, cela vaut vraiment la peine ! Vous pourrez alors proposer un très joli puzzle (classique et assez connu) à vos amis ou parents :
Donnez-leur les deux pentaèdres et demandez-leur de les assembler de manière à former une pyramide.

Plus précisément, cette pyramide a 4 faces triangulaires (la base et 3 faces latérales) : c'est un tétraèdre.
Si c'est nécessaire, vous pouvez leur montrer ce qu'est un « tétraèdre » (avec un dessin comme ci-contre).
Ce qui est diabolique, c'est qu'ils vont avoir un peu de mal à trouver la solution ; mais ce qui est intéressant, c'est qu'ils finissent en général par la découvrir en quelques minutes. Après, ils pourront toujours dire : « Ah ! C'était facile ! » …

La dissection du cube
Étonnant ! Le tétraèdre formé des deux pentaèdres diaboliques s'inscrit assez naturellement dans un cube. Les six côtés de ce tétraèdre sont exactement six diagonales des six faces de ce cube ! Voyez ci-contre. Plus précisément, la couverture de ce document montre la dissection d'un cube en 6 morceaux. Deux de ces morceaux sont les pentaèdres diaboliques. Les quatre autres morceaux sont des coins de cubes. Nous appelons « coin-unité » un tel coin, constitué de trois côtés du cube (de longueur unité) et du triangle équilatéral construit sur leurs extrémités.

La reconstitution du cube
Il vous faut absolument construire les six solides dont les patrons sont inclus dans le dépliant ! Car les surprises, et le plaisir intellectuel que vous en retirerez, valent largement le (petit) temps que vous aurez passé à les assembler. Pour reconstituer un cube à partir des six pièces ici données, vous avez pratiquement intérêt à procéder ainsi :
- disposez d'abord deux coins-unités « face à face », se touchant le long de leur côté équilatéral (qui sera une diagonale de la face basse du cube) puis posez, entre les deux, un pentaèdre diabolique, comme sur le dessin ci-contre ;
- vous pourrez ensuite, sans difficulté, poser le deuxième pentaèdre…
- et enfin les deux derniers coins.
Avec un peu d'attention, vous pouvez vous arranger pour que chaque face du cube (et son opposée) soit d'une seule couleur ! Bien combiné, non ?

Les coins-unités
Ces coins-unités sont des tétraèdres « trirectangles » particulièrement utiles pour comprendre la géométrie dans l'espace : regardez la figure, où l'on a représenté la face équilatérale pivotant vers l'avant. On dispose alors d'une reproduction du coin bas de la pièce dans laquelle on se trouve ; c'est bien pratique pour dessiner des figures de l'espace. On peut ensuite faire pivoter les deux triangles rectangles verticaux, pour obtenir un premier patron de ce coin. Et voici encore une circonstance vraiment remarquable : il y a exactement 4 patrons d'un tel coin…
Ce sont eux qui sont donnés dans le document ! N'est-il pas extraordinaire que ces quatre patrons, assez différents d'aspect, donnent naissance au même objet de l'espace ?

Volumes
Chaque coin-unité peut se regarder de deux manières :
- posé sur l'une de ses faces rectangle isocèle, sa base est alors un demi-carré et sa hauteur le côté du cube. En prenant le côté du cube comme unité, le volume d'un coin-unité vaut donc alors : (1/3)×(1/2)×1 = 1/6.
Les quatre coins du chaque cube occupent donc un volume de 4/6 ; et il reste 2/6 pour les deux pentaèdres diaboliques.
Conclusion : chaque pentaèdre diabolique a pour volume 1/6, c'est-à-dire le même volume que chaque coin-unité.
- posé sur sa face équilatérale, sa base est alors la même que le tétraèdre formé des deux pentaèdres diaboliques.
Ce tétraèdre a donc même base qu'un coin-unité, et un volume double.
Conclusion : la hauteur du tétraèdre formé des deux pentaèdres diaboliques est le double de la hauteur d'un coin-unité.

Consignes de constructions
- Découpez les patrons.
- Marquez les pli, entre faces ou languettes en repassant sur les traits avec un crayon ou avec un stylo qui n'écrit plus.
- Collez les languettes grises.

Le patron des pentaèdres diaboliques
Il donne lieu à une belle construction géométrique : après avoir tracé un carré, on trace une rosace de cercles comme pour former un classique réseau de triangles équilatéraux. En voici le programme filmé en cinq images…

 

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