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Commentaires sur l'affiche Sommes d'entiers
Lien vers l'affiche (pdf, 159 Ko) • Quatre premiers dessins : la somme des n premiers entiers est égale à n(n+1)/2. Rappelons aussi l'histoire du jeune C. F. Gauss : Le prince des mathématiciens, extrait de l'ouvrage Histoires de maths).
• La somme des n premiers impairs est égale à n2 : voici une propriété remarquable que l'on visualise avec un bon coloriage d'un carré de n2 points.
• Pour la magnifique figure des quatre pyramides accolées, voici quelques remarques utiles à la compréhension.
- Sur une verticale, à partir du petit carré central vert, on compte successivement 1, puis 2 petits carrés, puis 3 petits carrés, puis 4 petits carrés (puis…), soit au total 1+2+3+4 (ou 1+2+3+…+n dans une figure plus générale); et donc le côté du grand carré vaut deux fois la somme des entiers jusqu'à 4 (ou jusqu'à n dans une figure plus générale).
- Sur un côté du grand carré, on voit qu'il y a 5 carrés moyens de 4×4 (ou n+1 carrés moyens de n×n) et, donc, le côté du grand carré vaut (n+1)×n côtés de petits carrés.
(On retrouve ainsi que n(n+1) vaut deux fois la somme des entiers jusqu'à n.)
- Le nombre total de petits carrés sur la figure vaut donc [n(n+1)]2 et le nombre de petits carrés coloriés de chaque couleur vaut le quart de ce nombre.
- Comptons autrement le nombre de petits carrés verts (par exemple) : tout en haut de la pyramide, il y a 1 petit carré vert ; juste au-dessous il y a 2 carrés 2×2 (cela fait 23 petits carrés); juste au-dessous il y a 3 carrés 3×3 (cela fait 33 petits carrés); juste au-dessous il y a 4 carrés 4×4 (cela fait 43 petits carrés); au total cela fait 13+23+33+43 petits carrés (ou 13+23+…+n3 petits carrés).
- D'où la relation 13+23+…+n3 =(1/4)×[n(n+1)]2 et cet incroyable résultat qui faisait l'admiration du mathématicien al-Karaji (autour de l'an 1000, à Bagdad) : la somme des cubes des premiers entiers est égale au carré de la somme de ces premiers entiers !Si vous avez aimé les images de cette affiche, vous aimerez ce petit livre :
(Preuves en images)
